ЛЕНТА

В калейдоскопе

12 мая от коронавирусной инфекции скончался математик Эрнест Винберг. Ему было 82 года. Практически всю свою жизнь Винберг проработал на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета МГУ. Его научный кругозор был очень широк — фактически, он был лидером сразу трех научных школ: по теории инвариантов, по алгебрам Ли и по кристаллографическим группам отражений. У Винберга десятки учеников, и они занимаются настолько разными вещами, что зачастую с трудом понимают работы друг друга. Ученый создал отдельное научное направление: изучение кристаллографических групп отражений (групп Кокстера) в пространствах Лобачевского. Мы попросили математиков Виктора Прасолова и Вадима Бугаенко рассказать нам о работах Винберга в этой области.

Эрнест Винберг на лекции в ВШЭ в 2015 году

Mathematics at HSE / youtube

В 30-е годы XX века геометр Гарольд Кокстер разработал теорию групп отражений в евклидовых пространствах и на сферах. Такие группы могут быть получены как группы, порожденные отражениями в гранях многогранника любой размерности с двугранными углами вида π/n. Эти многогранники получили название многогранников Кокстера. Образы многогранника Кокстера при последовательном отражении в своих гранях заполняют все пространство или сферу, подобно узору в калейдоскопе.

Кокстер в 1934 году получил исчерпывающую классификацию таких многогранников (а тем самым и групп Кокстера) в евклидовых пространствах и на сферах любой размерности. Классификация основана на языке схем Кокстера – специального вида графов, позволяющих описывать многогранники Кокстера.

Винберг обобщил и развил эту теорию на случай пространств Лобачевского. В 1967 году он дал точную формулировку задачи. Несмотря на то, что пространство Лобачевского является третьим видом пространства постоянной кривизны после евклидового и сферического, даже формулировка задачи в этом случае требует существенных уточнений.

Замощение пространства Лобачевского четырехугольниками Саккери, один из случаев многогранника Кокстера

Tomruen / wikimedia commons

Поделиться

В первую очередь, в пространстве Лобачевского осмысленной является задача классификации многогранников Кокстера конечного объема – соответствующие им группы называются кристаллографическими.

В свою очередь, многогранники конечного объема делятся на два класса – компактные и некомпактные. Последний случай означает, что некоторые вершины многогранника лежат на абсолюте (на бесконечности).

Также среди всех групп Кокстера отдельно выделяются так называемые арифметические: их можно представить, как подгруппы отражений в группе автоморфизмов некоторой целочисленной гиперболической квадратичной формы. Таким образом, задача по классификации многогранников Кокстера разбивается уже на четыре: для компактных и некомпактных типов многогранника, а также для арифметических и неарифметических групп.

В 1968 году Винберг был одним из подписантов «Письма девяносто девяти» в защиту математика Александра Есенина-Вольпина, которого за диссидентскую деятельность принудительно отправили в психиатрическую больницу. Это послужило причиной притеснений Винберга со стороны руководства мехмата вплоть до начала перестройки.

Ученому не давали читать поточные лекции, в 1971 году была отклонена его докторская диссертация, которую он защитил со второй попытки в 1984 году, по новым результатам. В 1983 году Винберг был приглашённым докладчиком на XXI Международном конгрессе математиков в Варшаве, однако принять в нём участие не смог, так как имел невыездной статус.

Поделиться

В той же фундаментальной статье 1967 года Винберг модифицировал язык схем Кокстера, приспособив его для случая в пространстве Лобачевского. Кокстеровская схема многогранника дает возможность определить его комбинаторное строение. Винберг доказал критерий арифметичности кристаллографической группы в терминах кокстеровских схем.

А в 1972 году он предложил алгоритм для нахождения фундаментальной области подгруппы отражений в дискретной группе движений пространства Лобачевского. Применение этого алгоритма к группам автоморфизмов целочисленных гиперболических квадратичных форм стало мощным инструментом для нахождения примеров алгебраических кристаллографических групп отражений.

Через девять лет после этого, в 1981 году, Эрнест Борисович получил неожиданный результат: в пространствах Лобачевского большой размерности многогранники Кокстера отсутствуют. Он доказал два утверждения. Первое — в пространстве Лобачевского размерности ≥ 30 не существует многогранников Кокстера компактного типа. Второе – в пространстве Лобачевского размерности ≥ 30 не существует арифметических многогранников Кокстера некомпактного типа. Эти два результата были получены совершенно различными методами, и совпадение оценок видится случайностью.

Оставался открытым вопрос о неарифметическом некомпактном случае. Ответ на него получил в 1986 году Михаил Прохоров, используя метод Винберга и результаты Аскольда Хованского о комбинаторном строении выпуклых многогранников. Он доказал, что в пространстве Лобачевского размерности ≥ 996 не существует неарифметических многогранников Кокстера некомпактного типа.

Одновременно велась работа по нахождению примеров кристаллографических групп отражений. До работ Винберга такие группы были известны только в размерностях не выше 5.

В 1972 году Винберг со своей ученицей Иветтой Каплинской нашли примеры арифметических групп некомпактного типа во всех пространствах Лобачевского размерности ≤ 19. Рекордный пример для этого случая был найден в 1987 году Ричардом Борчердсом в размерности 20. Примеры арифметических групп компактного типа в пространствах Лобачевского размерностей 6, 7 и 8 были найдены в 1988 году учеником Винберга, Вадимом Бугаенко. Примеры неарифметических групп некомпактного типа были найдены в 1986 году еще одним учеником Винберга, Олегом Рузмановым, во всех размерностях ≤ 10, а в 2014 году – уже самим Винбергом во всех размерностях ≤ 12, а также 14 и 18.

Теория, над которой Винберг работал более полувека, по-прежнему хранит множество нерешенных задач.

источник

Похожие статьи

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

Кнопка «Наверх»
Do NOT follow this link or you will be banned from the site!
Установите приложение MEGANEWS на Google Play
УСТАНОВИТЬ
Закрыть
Закрыть

Обнаружен Adblock

Поддержите нас, пожалуйста, отключив блокировку рекламы.